统计学基础

上一章解决了「数据是什么口径」，这一章解决「怎么用数字描述数据」。量化里的每一句话——「这个策略年化 15%、最大回撤 8%」「这两只股票相关性很高」「这个信号显著」——背后都是统计学的概念。这一章是全教程数学最重的一章，但每个公式都只有三件事：它怎么写、它说人话是什么意思、拿几个真数字手算一遍。

收益率：一切统计的起点

统计学不直接研究价格，研究的是收益率。原因很简单：茅台 1700 元涨 17 元和一只 100 元的股票涨 1 元，价格变动差了 17 倍，但对持有人来说都是 +1%。收益率把不同价位的股票换算到同一把尺子上。

简单收益率

$r_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} = \frac{P_t}{P_{t-1}} - 1$

人话解释：今天赚的钱除以昨天的本钱。 $P_t$ 是第 $t$ 天的（复权）收盘价， $P_{t-1}$ 是前一天的。 $r_t = 0.02$ 就是「今天赚了 2%」。

手算一遍：一只股票昨天收盘 10 元，今天收盘 11 元：

$r_t = \frac{11 - 10}{10} = 0.10 = 10\%$

如果明天从 11 元跌回 10 元： $r_{t+1} = (10 - 11) / 11 = -9.09\%$ 。注意这个不对称：涨 10% 再跌 9.09%，价格回到原点，但两个简单收益率加起来是 +0.91%，不是 0。

对数收益率

$\ell_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)$

人话解释： $\ln$ 是自然对数，先把「今天价格是昨天的几倍」取对数再当收益率用。它的数值和简单收益率非常接近（涨跌幅度小时差别在小数点后三位），但有一个简单收益率没有的好性质：可以直接相加。两天的对数收益之和 = 两天的总对数收益。

手算一遍：还是 10 元涨到 11 元：

$\ell_t = \ln(11/10) = \ln(1.1) \approx 0.0953 = 9.53\%$

第二天跌回 10 元： $\ell_{t+1} = \ln(10/11) = -\ln(1.1) \approx -9.53\%$ 。两天相加正好等于 0——价格回到原点，对数收益归零，对上了。而简单收益率那笔账（+10%、−9.09%）要靠乘法才能复原： $(1 + 0.10) \times (1 - 0.0909) = 1$ 。

实际怎么用：算单日涨跌、给客户看业绩，用简单收益率（直观）；做统计建模、把多期收益加总，用对数收益率（可加）。本章后面的例子都用简单收益率，因为手算更直观。

均值、方差、标准差

拿到一串收益率，最先问的三个问题：平均赚多少？波动有多大？波动用「平均赚多少」的单位怎么表达？分别对应均值、方差、标准差。

均值

$\bar{r} = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n} r_t$

人话解释：把所有天的收益率加起来除以天数， $\sum$ 就是「求和」的记号。日均收益 0.1%，一年 250 个交易日，粗略年化就是 25%。

方差与标准差

$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{t=1}^{n}(r_t - \bar{r})^2, \qquad s = \sqrt{s^2}$

人话解释：方差是「每天收益偏离均值多远」的平方的平均——先平方是为了让涨 2% 和跌 2% 都算「偏离」，不至于正负抵消。除以 $n-1$ 而不是 $n$ 是统计学的修正（样本方差）， $n$ 大时两者几乎没区别。方差的单位是「百分比的平方」，没法和收益率直接比，所以开平方得到标准差 $s$ ——它和收益率同单位，日收益的标准差就是交易员口中的日波动率。

手算一遍：某只股票 5 天的日收益率（%）：1、−2、3、0、2。

均值： $(1 - 2 + 3 + 0 + 2) / 5 = 4 / 5 = 0.8\%$ 。

每天的偏离： $1-0.8=0.2$ 、 $-2-0.8=-2.8$ 、 $3-0.8=2.2$ 、 $0-0.8=-0.8$ 、 $2-0.8=1.2$ 。

平方： $0.04$ 、 $7.84$ 、 $4.84$ 、 $0.64$ 、 $1.44$ ，合计 $14.8$ 。

样本方差： $s^2 = 14.8 / (5-1) = 3.7$ （%²）。标准差： $s = \sqrt{3.7} \approx 1.92\%$ 。

解读：这只股票平均日涨 0.8%，典型的一天在均值上下约 2 个百分点的范围里晃。注意均值（0.8%）还不到波动（1.92%）的一半——单日的涨跌里噪声远大于趋势，这是后面假设检验一节重要的直觉基础。

收益的分布：直方图与正态分布

均值和方差是两个数字，分布是完整的一张图：把所有收益率按大小分桶，数每个桶里有几天，画成柱状图，就是直方图。

下面是用 500 个合成日收益（模拟一只日波动约 2% 的股票两年的行情）画的直方图，柱子上叠加了一条同均值、同标准差的正态分布曲线（那条钟形曲线，就是「理想情况」长什么样）：

人话解读：正态分布是统计学的「标准答案」——大部分日子挤在均值附近，越极端的日子越少，左右对称。它有个著名的经验法则：约 68% 的日子落在均值 ±1 个标准差内，约 95% 落在 ±2 个标准差内，±3 个标准差以外的日子理论上只占 0.27%。

但仔细看这张图，实际分布和正态曲线有两处对不上：

中间更尖：正态曲线预测的峰值天数约 62 天，实际中间的桶有 74 天——小涨小跌的日子比正态预期的更多；
两端更厚：±3 个标准差以外的日子，正态预期 500 天里约 1.4 天，实际有 11 天——暴涨暴跌比正态预期的多得多。

中间尖、两端厚，合起来叫厚尾（fat tails），是真实股票收益的普遍特征。这份合成数据是故意按厚尾生成的，超额峰度约 3.5（正态分布是 0）——真实 A 股个股的日收益，厚尾程度往往比这还夸张。记住这张图：任何假设收益服从正态分布的公式，都在低估极端行情的概率。

偏度与峰度：分布的形状参数

均值和方差描述了分布的「位置」和「宽度」，偏度和峰度描述「形状」。

偏度

$\text{偏度} = \frac{n}{(n-1)(n-2)}\sum_{t=1}^{n}\left(\frac{r_t - \bar{r}}{s}\right)^3$

人话解释：结构和方差几乎一样，只是把平方换成了立方。立方保留正负号：右边（大涨）的极端值立方后是巨大的正数，左边（大跌）是巨大的负数。加总之后哪边赢，分布就偏向哪边：

偏度 > 0（右偏/正偏）：右边尾巴更长——大多数时候小跌，偶尔暴涨（彩票型）；
偏度 < 0（左偏/负偏）：左边尾巴更长——大多数时候小涨，偶尔暴跌（瀑布型，个股和爆仓策略的典型形态）；
偏度 ≈ 0：左右大致对称。

手算一遍（简化为符号判断）：5 天收益率（%）：0、1、1、1、4。均值 $= 7/5 = 1.4\%$ ，偏离为 −1.4、−0.4、−0.4、−0.4、+2.6。立方：

$(-1.4)^3 = -2.744,\quad (-0.4)^3 = -0.064\ (\times 3),\quad 2.6^3 = 17.576$

合计 $-2.744 - 0.192 + 17.576 = +14.64 > 0$ 。右边那个 +4% 的极端值在立方后被放大成 17.6，压过了左边所有项——正偏，和「偶尔暴涨」的直觉一致。把数据镜像成 −4、−1、−1、−1、0，所有立方变号，合计 −14.64，负偏。

峰度

人话解释：峰度是四次方版的偏离加总（公式结构和偏度相同，指数从 3 换成 4，这里不展开）。四次方把极端值放大得更狠，所以峰度本质上是在称量尾巴的重量。实际报告里都用超额峰度 = 峰度 − 3，这样正态分布正好是 0：

超额峰度 > 0：厚尾，极端行情比正态预测的多——股票收益的常态；
超额峰度 ≈ 0：接近正态；
超额峰度 < 0：薄尾，罕见。

本节合成数据的超额峰度约 3.5、偏度约 0.16——轻微正偏、明显厚尾。直方图里看到的「尖峰厚尾」，用这两个数就量化了。

日	A	B
1	1	2
2	−2	−3
3	3	4
4	0	−1
5	2	3

一元线性回归：β 的直觉

$y_t = \alpha + \beta x_t + \varepsilon_t$

人话解释：把个股收益 $y$ 拆成三部分：大盘收益 $x$ 能解释的部分（ $\beta x$ ）、与大盘无关的固定部分（ $\alpha$ ）、解释不了的噪声（ $\varepsilon$ ）。 $\beta$ 是相对波动的放大倍数：β = 1.5 表示大盘涨 1%，这只股票平均涨 1.5%；β = 0.5 表示它只跟一半。α 是去掉大盘影响后「白赚」的部分——选股 Alpha 这个词就来自这里。

$\beta$ 不是拍脑袋定的，它和上一节的相关系数是一家人：

$\beta = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{s_X^2} = \rho \cdot \frac{s_Y}{s_X}$

手算一遍：沿用上面 A、B 两只股票的数据，把 A 当「大盘」、B 当「个股」：

$\beta = \frac{5.5}{3.7} \approx 1.49, \qquad \alpha = \bar{x}_B - \beta \bar{x}_A = 1.0 - 1.49 \times 0.8 \approx -0.19\%$

解读：B 的波动是 A 的约 1.5 倍（β = 1.49），但去掉跟随 A 的部分后，B 平均每天还跑输 0.19%（α 为负）——高 β 不等于好股票，它只是放大器。用 $\rho \cdot s_Y / s_X$ 验算： $0.98 \times 2.92 / 1.92 \approx 1.49$ ，两条路算出来一致。

假设检验与 p 值：这个结果是不是运气

这是全章最重要、也最容易被用错的一节。

场景：一个策略回测了 100 天，赚了钱。它是真有用，还是瞎猫碰上死耗子？假设检验的处理方式是反着问：先假设策略没用（这叫原假设），再算「在策略没用的前提下，出现这么好（或更好）结果的概率」——这个概率就是 p 值。p 值越小，「纯靠运气」这个解释越站不住脚。

掷硬币类比：有人声称能预测硬币，抛 10 次猜中 8 次。他真有超能力吗？先假设他没有（猜中的概率就是 50%），算「纯蒙也能蒙对 8 次或更多」的概率：

$p = \frac{C_{10}^{8} + C_{10}^{9} + C_{10}^{10}}{2^{10}} = \frac{45 + 10 + 1}{1024} = \frac{56}{1024} \approx 5.5\%$

人话解读：一个纯蒙的人，每 1000 次「抛 10 次」的实验里，约有 55 次能蒙对 8 次以上——不算太罕见。所以 10 中 8 不足以让我们相信他有超能力，这就是「p = 5.5%，不显著」的含义。

p 值最常见的误读：p = 5.5% 不是「策略没用的概率是 5.5%」，也不是「结论正确的概率是 94.5%」。它只回答了一个问题：如果策略没用，看到这么极端的结果有多意外。原假设本身为真的概率，p 值给不出来。

两条实战推论：

5% 这条线是人为约定的，p = 4.9% 和 p = 5.1% 没有本质区别，别把「显著/不显著」当开关用；
试得越多，假阳性越多：每个无效策略都有 5% 的概率蒙出 p < 5%。如果你回测了 100 个策略只报告最好的那个，它「显著」很可能只是 100 次抽奖里的中奖者。策略池越大，对 p 值的要求就该越苛刻。

“Student” 这个署名背后是化学家威廉·戈塞特（W. S. Gosset），20 世纪初受雇于吉尼斯啤酒厂做质检。他面对的困难与本教程的回测者一模一样：判断一批大麦的品质，不可能真酿几百桶啤酒来测——样本注定只有几个。当时现成的统计方法都默认样本量足够大，直接套用会漏掉「参数本身也是估出来的」这层额外的不确定性。戈塞特推导出把这层不确定性算进去的小样本分布（t 分布），因为酒厂禁止员工发表研究成果，只好用 “Student” 的笔名发表——这个笔名后来比他的真名有名得多。

回看本章：三年回测的七百多个交易日、夏普估计的置信区间，和几桶大麦的质检是同一个小样本问题；t 检验连同那类「除以 n−1」的自由度修正，本质都是在为「均值和标准差本身也是从有限样本里估出来的」买单。

QQ 图：一眼看穿「是不是正态」

直方图看厚尾要靠眼力，QQ 图（分位数-分位数图）把这个问题变成「点是否在一条直线上」。

做法：把 500 个收益从小到大排序，第 $i$ 个就是样本的 $i/n$ 分位数（比如中位数是第 250 个）；再算标准正态分布在同样位置的分位数应该是多少；把两者配成点对画出来。如果收益真是正态分布，所有点应该落在 y = x 这条 45° 直线上（图中红色虚线）。

人话解读：图中间的点基本贴在直线上——普通日子的收益确实接近正态；但两端的点明显「翘起来」离开直线：最左端的点理论值约 −3.1 个标准差，实际到了 −4.9；最右端理论 +3.1，实际 +4.4。两端上翘（下翘）成 S 形，就是厚尾的图形签名。以后看任何收益序列，画一张 QQ 图，三秒钟就能判断「能不能用正态假设」。

伪代码：从收益序列到统计量

给定一串复权收盘价，算出收益率，再算均值、方差、偏度——这是后面每一章都会复用的流程：

输入：复权收盘价序列 prices[0..n]（共 n+1 个价格）
输出：均值 mean、标准差 sd、偏度 skew

第一步：计算收益率
  对 t 从 1 到 n：
    r[t] = prices[t] / prices[t-1] - 1
  （收益率比价格少一个点，共 n 个）

第二步：均值
  sum = 0
  对每个 r[t]：sum = sum + r[t]
  mean = sum / n

第三步：方差与标准差
  sq = 0
  对每个 r[t]：sq = sq + (r[t] - mean) 的平方
  variance = sq / (n - 1)      // 样本方差，除以 n-1
  sd = variance 开平方

第四步：偏度
  cube = 0
  对每个 r[t]：cube = cube + ((r[t] - mean) / sd) 的立方
  skew = cube * n / ((n - 1) * (n - 2))

第五步：健全性检查
  若 sd 等于 0：序列没有波动，偏度无法计算，直接报错
  若 n 小于 30：打印警告「样本太少，统计量不可靠」

常见坑

相关 ≠ 因果。两只股票 ρ = 0.98，不一定是 A 带动 B——很可能它们同属一个板块，被同一个因素（行业政策、大盘情绪）同时驱动。冰淇淋销量和溺水人数高度相关，因为背后都是「天热」。拿相关性当因果用，会做出「买入 A 就能预测 B」之类的错误策略。
小样本的统计量不可靠。20 天回测算出的夏普比率 3.0、5 天数据算出的相关系数 0.9，噪声远大于信号。经验上，均值和相关系数至少需要上百个观测才谈得上稳定，偏度峰度需要更多。样本不够时，正确的做法是承认「不知道」，而不是把噪声当结论。
用正态假设给尾部风险定价。直方图一节已经看到：±3 个标准差以外的日子，正态预测 1.4 天、实际 11 天，差了近 8 倍。凡是以正态为前提的风控公式（如经典 VaR），都会系统性地低估爆仓概率。厚尾不是理论细节，是真金白银。

统计语言备齐了：收益率是原料，均值方差是概况，偏度峰度看形状，相关与回归看关系，p 值负责泼冷水。下一章用这套语言定义「假设」与「信号」——把一个模糊的交易想法，变成可以被数据检验的命题。