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量化基础教程

均值回复

上一篇的趋势跟踪赚「惯性」的钱：价格在动，就跟进去。这一篇看它的镜像——均值回复（mean reversion）赚「弹性」的钱：价格跌过头了，赌它涨回来；涨过头了，赌它落下来。

直觉模型是一根橡皮筋：价格被一根橡皮筋拴在它的平均成本附近，拉得太远，橡皮筋的张力就会把它拽回来。短期涨得离谱的东西会回调，跌得离谱的会反弹——每个 A 股交易者都在盘口上见过这种现象。但必须先泼一盆冷水：橡皮筋是一个假设，不是一条定律。它没有写在任何交易所规则里，价格可以完全合法地一去不回（那叫趋势），也可以偏离之后停在原地很久不拉回来。均值回复策略的全部工作，就是把「我觉得它偏离太多了」这句感觉，翻译成可检验的规则，并且事先想好：假设错了怎么办。本章的答案是：错了就止损。

方法论：z-score 的 ±2 规则

Section titled “方法论：z-score 的 ±2 规则”

「偏离太远」需要一把尺子。标准做法是 z-score（标准分数）：把价格偏离均值的程度换算成「几个标准差」，数学节会给出完整定义。有了它，规则可以写得和上一篇一样机械：

  • R1（数据）：每日收盘价。用最近 20 个交易日（含今日）算出均值 μt\mu_t 和标准差 σt\sigma_t，再算 z-score ztz_t。窗口含当日是布林带（Bollinger Bands）的行业惯例，本章与之一致；因为信号在今日收盘后才生成、明日成交，含当日不构成前视——你在 15:00 收盘那一刻确实已经知道了今日收盘价。
  • R2（买入）：今日 zt≤−2z_t \le -2（价格比 20 日均值低了两个标准差以上，超卖），则次日以收盘价全仓买入。
  • R3（平仓）：持仓中，今日 zt≥0z_t \ge 0（价格回到均值附近，橡皮筋缩回来了），则次日以收盘价清仓，仓位归零。
  • R4（做空腿，对称规则）：今日 zt≥+2z_t \ge +2（超买），则次日做空；ztz_t 回落到 00 以下平仓。A 股现货不能做空，融券门槛高、券源不稳定，本章演示只跑多头腿（R2 + R3）；允许做空的市场（期货、美股）可以把 R4 一并打开。
  • R5（仓位）：只有「空仓」和「全仓」两种状态，不加仓、不摊平。摊平（越跌越买）是均值回复最常见的死法，常见坑一节细说。

注意这套规则和趋势跟踪恰好反着来：趋势策略在价格创 20 日新高时买入，均值回复在价格跌到 20 日最低区域时买入；趋势策略「截断亏损、让利润奔跑」，均值回复「回到均值立刻落袋、绝不留恋」。同一个 ztz_t，一个读出「强势确认」，另一个读出「超涨该卖」。后面专门有一节讨论这对矛盾。

本章演示数据是 250 个交易日的合成价格（OU 均值回复演示：p[t+1] = p[t] + κ(μ − p[t])·dt + σ·randn()，κ=0.15、μ=10、σ=0.3、dt=1；z-score 与布林轨用 20 日窗口（含当日，标准差为总体口径 ÷20），前 19 日为 null），由一个 OU（Ornstein-Uhlenbeck）过程生成——一种带「回拉弹簧」的随机游走：每一步都以 κ=0.15\kappa=0.15 的力度把价格往长期均值 μ=10\mu=10 元拉一把，再加一个随机扰动。用它演示意味着均值回复在这段数据里天然成立，这是合成数据的特权，实盘没有；常见坑一节会回到这个问题。

数学：z-score

Section titled “数学：z-score”

zt=Pt−μtσt,μt=1N∑i=0N−1Pt−i,σt=1N∑i=0N−1(Pt−i−μt)2z_t = \frac{P_t - \mu_t}{\sigma_t}, \qquad \mu_t = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1} P_{t-i}, \qquad \sigma_t = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}\left(P_{t-i} - \mu_t\right)^2}

本章 N=20N = 20。

人话解释：μt\mu_t 是最近 20 天的平均价（上一篇的移动平均），σt\sigma_t 是最近 20 天价格围绕这个均值的波动幅度（标准差，第 2 章见过）。分子 Pt−μtP_t - \mu_t 是「今天比平均贵/便宜多少钱」，除以 σt\sigma_t 是把钱换算成「几个正常波动」——zt=−2z_t = -2 的意思是：今天的低价比正常波动大了两倍，属于统计学上的「少见事件」（正态分布下 ∣z∣>2|z| > 2 的概率约 5%）。换算成标准差的意义在于可比性：10 元的股票波动 0.4 元、100 元的股票波动 4 元，都对应 z=−2z = -2，同一把尺子量所有股票。

手算一遍：2025-03-19 的收盘价是 9.18 元。取此前 20 个交易日（含当日）的收盘价，套用上面的定义：

μt=120∑i=019Pt−i,zt=Pt−μtσt\mu_t = \frac{1}{20}\sum_{i=0}^{19} P_{t-i}, \qquad z_t = \frac{P_t - \mu_t}{\sigma_t}

代入数值：20 个收盘价之和为 199.18 元，均值 μ = 199.18 ÷ 20 = 9.959 元；每个收盘价减去均值、平方、平均、开方，得 20 日标准差 σ = 0.388 元。于是 z = (9.18 − 9.959) ÷ 0.388 = -0.779 ÷ 0.388 ≈ -2.006。

算出的 z 值 -2.006 满足 zt≤−2z_t \le -2，触发 R2，次日（2025-03-20）以收盘价 9.72 元买入——这就是下图多头腿的第一笔交易。

一个和上一篇相同的提醒：μt\mu_t 和 σt\sigma_t 都是滞后指标，窗口里的旧数据会拖着它们走。均值回复策略赌的是「价格先回到均值」，而偶尔发生的是「均值慢慢挪向价格」——两者在图上长得几乎一样，结局完全不同。

伪代码：z-score 均值回复的完整流程

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引擎骨架不变，换掉信号部分，并加上这一策略的命门——止损：

输入：收盘价序列、窗口 N = 20、阈值 Z = 2、初始资金 C₀、费率 fee、滑点 slip、止损线 L（如 8%）
cash ← C₀；持仓 ← 0；买入价 ← 无；pending ← 无
对 t 从 1 到 n：
    # ① 执行昨日收盘后排队的信号（T+1：信号昨日生成，今日成交）
    若 pending = 买入 且 空仓：
        成交价 ← close[t] × (1 + slip)；全仓买入，扣手续费；买入价 ← 成交价；pending ← 无
    若 pending = 平仓 且 持仓：
        成交价 ← close[t] × (1 − slip)；清仓卖出，扣手续费；持仓归零；pending ← 无
    # ② 用今日收盘计算 z-score、生成信号（排队到明日执行）
    μ ← mean(close[t−N+1], …, close[t])        # 窗口含今日，收盘后可知，无前视
    σ ← std(close[t−N+1], …, close[t])          # 总体口径：÷N
    z ← (close[t] − μ) / σ
    若 空仓 且 z ≤ −Z：pending ← 买入            # 超卖，捡便宜
    若 持仓 且 z ≥ 0：pending ← 平仓             # 回到均值，落袋，仓位归零
    若 持仓 且 close[t] ≤ 买入价 × (1 − L)：pending ← 平仓   # 止损：假设失效，认赔
    # ③ 结算当日净值
    净值[t] ← cash + 持仓 × close[t]
输出：净值序列、成交记录

三行信号各管一件事：第一行进场（橡皮筋拉满了），第二行是平仓规则——zz 回到 0 附近就走，这是均值回复的利润来源，绝不能像趋势策略那样「让利润奔跑」；第三行是止损规则——价格跌破买入价一定比例就无条件离场，仓位归零，这是为「橡皮筋断了」准备的。常见坑一节会解释为什么均值回复策略的止损不是可选项。

① 和 ② 的顺序与上一篇相同：先执行昨日信号、再生成今日信号，信号与成交不共用同一根 K 线的收盘价（第 4 章的第三种前视）。做空腿（z≥+Zz \ge +Z 做空、回落平仓）完全对称，此处省略。

图：价格、布林带与 z-score

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把规则跑在 250 日演示数据上。上半格是收盘价（黑）与布林三轨：黄线是 20 日均值，红/绿虚线是均值 ±2σ（布林带）；下半格是 z-score（蓝），红绿虚线分别是 ±2 触发线：

上下两格看的是同一件事：价格碰到布林下轨，等价于 z-score 触到 −2。250 个交易日里，z-score 上穿 +2 共 7 次、下穿 −2 共 6 次。只跑多头腿（下穿 −2 买入、回到 0 平仓，未扣费用滑点）得到 5 笔完整买卖：

买入卖出毛收益
2025-03-20（9.72 元）2025-03-24（9.93 元）+2.16%
2025-04-04（9.01 元）2025-04-15（10.49 元）+16.43%
2025-05-05（9.57 元）2025-05-21（9.4 元）-1.78%
2025-08-01（9.83 元）2025-08-25（10.06 元）+2.34%
2025-09-26（8.83 元）2025-10-07（9.74 元）+10.31%

4 胜 1 负，合计约 +29.46%。这就是均值回复策略典型的盈亏分布：胜率通常很高（橡皮筋大多数时候确实会缩回来），单笔盈利不大，但那一笔 -1.78% 的亏损单值得细看——2025-05-05 以 9.57 元买入后价格继续下探，最低跌到 8.77 元（较买入价 −8.4%），z-score 在零轴下方徘徊了两个多星期，直到 2025-05-21 z 回到 0 上方按规则平仓时仍亏 1.78%。它演示了这套策略的风险形状：赚的时候小口小口赚，亏的那一笔告诉你假设不是定律。（注意：伪代码里的 −8% 止损线在这笔交易中其实会被触发——05-09 收盘跌破 9.57 × 0.92 = 8.80 元，次日即以 9.08 元离场。上表的多头腿为演示纯粹的 ±2/归零规则而没有启用止损，常见坑一节说明为什么实盘必须启用。）

与趋势策略的对立统一

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把这一篇和上一篇趋势跟踪并排看，两者构成一组镜像：

  • 信号相反：趋势章的演示数据里，中段四个月横盘让双均线策略反复触发、连续小亏（「出血期」）；同样一段来回震荡的行情，正是均值回复的主场——每次偏离都被拉回，zz 在 ±2 之间往返，来回落袋。反过来，本章这样的趋势段（价格单边走远），均值回复会反复逆势开仓、反复被止损。同一段行情，一个赚一个亏，没有谁能通吃。
  • 持仓哲学相反：趋势「截断亏损、让利润奔跑」——平仓线放在很远处；均值回复「落袋为安、见坏就收」——zz 一回到 0 就走。把两套哲学混用（均值回复进场、趋势式持有）是最糟糕的组合：等于既没有弹性利润，也没有趋势利润。
  • 盈亏分布相反：趋势低胜率、高盈亏比；均值回复高胜率、低盈亏比。评价指标用错了会得出离谱结论——拿胜率夸均值回复、拿胜率骂趋势，都是没看懂各自赚钱的方式。
  • 统一的一面：两者都是「价格行为存在结构」的假设——一个假设惯性，一个假设弹性；都怕假设失效；失效时都靠止损活着；参数（窗口、阈值）都没有先验正确答案，都得过第 6 章「参数高原」那一关。实盘上两者常配在一起用：先判断市场处于趋势状态还是震荡状态，再决定启用哪套规则——那是更高阶的话题，本教程不展开。

常见坑

Section titled “常见坑”
  1. 单边下跌里「接飞刀」——均值回复最大的死穴。z≤−2z \le -2 的含义是「过去 20 天里少见地便宜」，不是「不会再跌了」。下跌趋势中，价格可以连续几十天停在 −2 以下、越跌越深——演示数据里 ∣z∣>1|z| > 1 的最长连续段达 17 个交易日，合成数据尚且如此，实盘里的单边熊市可以把 z-score 钉在 −3 以下几个月。均值回复假设一旦失效，亏损没有上限：价格可以跌 30%、50% 直到退市，而「回到均值」的均值本身也在下移。所以止损线（伪代码中的 LL）不是锦上添花，是这个策略能活到下一根橡皮筋出现的前提。同理，不要摊平：越跌越买在假设成立时摊低成本，在假设失效时加速死亡，而你事先不知道这一次是哪一种。
  2. 把 OU 演示当成实盘的承诺。本章数据是拿均值回复过程生成的，策略赚钱是剧本安排；真实股票没有「长期均衡价 10 元」这种东西，μ\mu 会随基本面漂移、跳空、重估。一次回测仍只是 N=1N=1 的一条历史路径（第 4 章）。均值回复的证据同样要跨品种、跨年代去找，而不是盯着一张好看的回测图。
  3. 窗口和阈值是拍的。为什么 20 日、为什么 ±2？没有先验答案。在同一段历史上扫参数挑最好的那组，是第 6 章讲过的过拟合标准动作。健康的参数同样应该是一片高原：18 日、22 日、±1.8、±2.2 的邻居参数表现不应天壤之别；只有 (20, 2) 一枝独秀的参数，大概率是运气。

均值回复回答的是「价格偏离太多了，赌不赌它回来」。到这里，第二编的两类基本策略——赚惯性的趋势、赚弹性的均值回复——都有了规则、数学、伪代码和图。接下来的策略会更精细，但骨架不会超出这两篇立下的范式：假设写清楚、规则写死、数学可手算、失效有止损。